设数集D⊂R，则乘映射f: D->R为定义在D上的函数，通常记为 y=f(x), x∈D, 其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域，记作D(f), 即D(f)=D。
函数的定义域中，对每个x∈D,按照对应法则f， 总有唯一确定的值y与之对应，这个值称为函数f在x处的函数值，记作f(x), 即y=f(x), 因变量y与自变量x之间的这种依赖关系，通常称为函数关系，函数值f(x)的全体所构成的集合称为函数f的值域，记作R(f), 或f(D)，即 R(f)=f(d) = {y∣f=f(x), x ∈ D}
需要指出，按照上述定义，记号f和f(x)的含义是有区别的，前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则，而后者表示与自变量x对应的函数值，但为了叙述方便，习惯长常用“f(x), x∈ D”或“y=f(x), x∈ D”来表示定义在D上的函数，这时应理解为由它所确定的函数了f。
表示函数的记号是可以任意选取的，除了常用的f外，还可以用其他的英文字母或者希腊字母，如"g, F"等等， 相应地，函数可记作y=g(x),y=F(x)等等， 有时还可直接用因变量的记号来表示函数，即把函数记作y=y(x), 但在用一个问题中，讨论到几个不同的函数时，为了表示区别，需要用不同的记号来表示它们。
函数是从实数集到实数集的映射，其值域总在R内，因此构成函数的要素是： 定义域D(f), 对应法则f. 如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，那么这两个函数就是相同的，否则就是不同的。
函数的定义域通常按以下两种情况来确定，一种是对有实际背景的函数，根据实际背景中变量的实际意义确定，例如，在自由落体运动中，设物体下落的时间为t, 下落距离为s, 开始下落的时刻t=0, 落地的时刻t=T, 则s与t之间的函数关系是：
s=(1/2) * g * (t^2), t∈[0, T]，
这个函数的定义域就是区间[0, T], 另一种是抽象地用算式表达函数，通常约定这种函数的定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域，在这种约定下，一般的用算式表达的函数可用“y=f(x)”表达，而不必在表出D（f）, 例如，函数y=√（1-x^2）的定义域是闭区间[-1, 1], 而函数y=1/√(1-x^2)的定义域是开区间(-1, 1)。
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