高中数学立体几何解题套路（解立体几何题如何添加辅助线）

辅助线该如何添加？有口诀：“有了中点配中点，两点相连中位线；等腰三角形出现，顶底中点相连线；有了垂面作垂线，水到渠成理当然。”

例1、如图1，在二面角

中，

ABCD是矩形，

且

，M、N依次是AB、PC的中点。

证明：MN是异面直线AB和PC的公垂线。

分析：要证明此题，必须添加适当的辅助线。根据题设条件中的N点是PC的中点，则可考虑利用“有了中点配中点，两点相连中位线”的辅助线的做法。

证明：选取PD的中点Q，连接QN、QA，则QN是△PDC的中位线，且

因为ABCD是矩形，M是AB的中点，所以AM∥DC，且

，所以

，所以四边形AMNQ为平行四边形，所以AQ∥MN。由

易证AB⊥平面PAD，CD⊥平面PAD，所以AB⊥AQ，所以AB⊥MN，所以AQ⊥PD。又CD⊥AQ，所以AQ⊥平面PCD，即AQ⊥平面

，所以AQ⊥PC，故而，MN⊥PC，所以MN是异面直线AB和PC的公垂线。

例2、如图2，在三棱锥A－BCD中，若∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝60°，AC＝AD，求证：AB⊥CD。

分析：题设条件中出现了“AC＝AD”，即△ACD为等腰三角形，则可考虑利用“等腰三角形出现，作底边的中点”来添加辅助线。

证明：取DC中点E，连接AE、BE。

则AE⊥CD易证△BAC≌△BAD，所以BC＝BD，所以BE⊥CD，所以CD⊥平面BAE，所以CD⊥AB。

例3、如图3，底面是等腰直角三角形的直棱柱

D是

的中点。（1）求证：平面

⊥平面

；（2）求二面角

的大小。

分析：（1）要证明平面⊥平面，则应转化为线面垂直，即在其中一个平面内找一条直线垂直于另一个平面。注意到题设中直棱柱的底面是等腰三角形，因而可考虑利用“等腰三角形出现，作底边的中点”来添加适当的辅助线。（2）要求二面角的大小，应考虑作出二面角的平面角，要作二面角的平面角，注意到（1）所证结果中出现了两平面垂直，所以可考虑利用“有了垂面作垂线，然后利用三垂线”的作辅助线的办法，作出其中一个平面的垂线以后，利用三垂线定理来作二面角的平面角（本题请同学们结合图中已添加的辅助线自己完成，第2小题的答案是二面角的大小为

。）

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