【引言】：让人困惑的物理描述不应是对物理本质的描述，如量子力学的波粒二象性问题，二种在自然界根本就不可兼容的东西非要柔和到一起，那就肯定会让人匪夷所思；对此困惑的释解，解铃还须系铃人，这就须从波粒二象性得出的历史资料上去查找让人产生困惑的根源。
任何波的产生都来自于波源的振动，波动只是传播波源振动的一种形态，因此，研究波问题就绕不开波源振动，大自然中最简单的波源振动是简谐振动。
回顾波史，从简谐振动到简谐波动，从LC振荡到偶极振子，从电子谐振子到电子轨道跃迁，这每一步变迁无不体现了一维谐振子及其演变的身影，本系列小文正是想从一维谐振子入手，去揭开现代物理学“波粒二象性”迷雾之旅。
从一维谐振子看普朗克常数的真正物理意义是什么？
司 今（jiewaumyu@126.com）
4、一维电子谐振子与普朗克能量子
图-21黑体辐射
1900年，普朗克为了解决黑体辐射中的“紫外线灾难”问题，如图-21、22所示，提出了一个与经典物理学概念不同的新假设：金属空腔中的电子振动可视为一维谐振子，它吸收或发射电磁辐射能量时，不像过去经典物理学所认为的那样，可以连续地发射或吸收能量，而是以与振子的频率成正比的能量子ε=hγ为基本单元来吸收或发射能量，这就是说，空腔壁上的带电谐振子吸收或发射的能量只能是hγ的正整数倍，即ε=nhγ，他并假设，比例常数h对所有振子都是相同的，h叫做普朗克常数。
图-22黑体辐射曲线
应当指出，在经典物理学中，谐振子的能量正比于振幅的平方，即E=kA²/2，而且对于给定频率的谐振子，其振幅是任意的，这就是说，对给定频率γ的谐振子可以具有任意连续地能量值；而按照普朗克的假设，频率为γ的谐振子，其能量只能取1hγ,2hγ，3hγ,4hγ等不连续的值，即谐振子发射或吸收能量是不连续量子化的，可见，普朗克的这种假设与经典物理概念格格不入，也为未来物理学发展带来新的概念。
普朗克依据他的能量子假设，用经典统计方法求得单位时间内，从温度为T的黑体单位面积上，在频率γ→γ dγ范围内所辐射的能量为：
其中k为玻尔兹曼常数，h为普朗克常数。
从上述介绍中可以看出，普朗克假说中所说的电子谐振子辐射的能量子其实就是一个可独立运动的且具有一个完整振动周期的电磁波片段，如图-23所示，这个假说的本质是延续了经典电磁学中偶极振子振动辐射电磁波的物理模型思想；不过，偶极振子振动辐射的电磁波是连续的，而普朗克的电子谐振子振动辐射的电磁波是不连续的，即以振动周期为单位的电磁波片段形式向空间传播。
图-23
还有后来称为量子波包的东西，如图-24，它是由不同频率或振幅的普朗克能量子片段波相互叠加后的一种波动描述形式，这种叠加运动整体可以看作是一个能够独立运动的小波包体，这是普朗克能量子思想的延伸。
图-24
普朗克假说中对于一个给定振动频率为γ的电子谐振子，其振动一个周期所吸收或辐射的能量是以ε=hγ为基本单元来进行的，这就是说，这个给定频率的带电谐振子吸收或发射的能量只能是hγ的正整数倍，即ε=nhγ来进行；对于另一个给定频率为γ＇的电子谐振子，其振动一个周期所吸收或辐射的能量也是以ε＇=hγ＇为基本单元的整数倍即ε＇=nhγ＇的形式来进行，只不过二者频率不同罢了，二式中h为比例常数，即普朗克常数。
当然，公式中的整数n并不是说电子谐振子振动一个周期可以吸收或辐射n个能量为hγ的能量子，而是吸收或辐射一个能量为hγ的n倍的能量子，即ε=n×hγ.
以上对黑体能量辐射的描述与经典物理学格格不入，其中最让人困惑的几个问题是：
（1）、为什么黑体辐射电磁波能量是不连续的？
（2）、为什么电子谐振子辐射的能量可以用ε=hγ来描述？
（3）、为什么对于给定频率的电子谐振子辐射的能量可以用ε=nhγ形式来描述？
（4）、对于谐振系数不同的电子谐振系统，其振动辐射的能量子大小该如何定量？
（5）、为什么对于给定频率的电子谐振子辐射的能量也是不连续的？
（6）、普朗克将h假设为常数有什么物理意义？
……，……，……
对此困惑，我们想从经典物理学角度尝试性地给予解读：
（1）、为什么黑体辐射的电磁波是不连续的？
普朗克黑体辐射理论是建立在一维电子谐振子概念之上的，他首先假设一个电子1在没有形成谐振子之前是处于自由运动或静止状态，它与另一个电子2构成谐振系统有3种可能：
①、自由运动电子1与另一个处于静止状态电子2相遇，可构成一个电子谐振系统。
②、自由运动电子1与另一个处于热运动状态电子2相遇，可构成一个电子谐振系统。
③、静止状态电子1与另一个处于热运动状态电子2相遇，可构成一个电子谐振系统。
电子谐振子振动的能量来自于外界热能致使电子产生热运动而获得，即热运动电子之间相互碰撞来提供能量，电子谐振子在完成一个周期振动并辐射一个能量子后，它的振动就会停止，又恢复到没有热运动前的状态，即不再有能力辐射光子了，只有等下一个热运动电子来撞击它才能产生下一次振动并辐射下一个能量子；因此说，电子谐振子释放的电磁波能片段是间断的，不像电磁学中偶极振子振动，由于外界提供能量是连续的，其辐射的电磁波才会是连续的；而对于一个给定的电子，它什么时候能够形成谐振子系统，什么时候辐射能量子等，这在时间和空间上都是随机的，故它辐射电磁波能量子是间歇的，不连续的。
（2）、为什么电子谐振子辐射的能量可以用ε=hγ描述？
假设热运动电子与另一个热运动电子或原子核构成一个电谐振动系统，那么，我们就可以像上述机械波或电偶极振子那样，对电子谐振子振动最大能量的定量描述即可以采用简谐振动中最大振动势能Ep=kA²来定量，也可以用振动中的最大振速动能Ek=mv²来定量，还可以将振幅A看做是一个旋转矢量，在谐振矢量圆中用E=hγ形式来定量，其中h=2πmvA或h=2πmvr是矢量圆的角动量，这种描述最符合波理论，因普朗克能量只是电子谐振子振动一个周期所发出的电磁波能量片段，因没有质量性，故只能将该电子谐振子振动一个周期的能量用E=hγ，而且h=2πmvr也因质量不存在而无法定义，只能将其视为常数，即普朗克常数。
可见，普朗克对辐射能量子ε=hγ这种描述思想本质是将h=2πmvr常量化的结果，但并不是说经典谐振动中h=2πmvr的形式在电子谐振用旋转矢量圆描述时就不存在了；从爱因斯坦光子波动论及玻尔原子轨道理论的描述上来看，h=2πmvr不但存在，而且还有实际的物理意义。
认清了普朗克对电子谐振子辐射能量子能量为什么可定量描述为ε=hγ的思路，我们就可以对电子谐振子振动辐射电磁波能量的本质进行追根溯源了。
（3）、为什么对于给定频率的电子谐振子辐射的能量可以用ε=nhγ形式来描述？
普朗克在它的电子谐振子理论中认为，电子谐振所辐射的能量ε=hγ中将h定义为常数，由于对于一个给定的谐振子系统，其振动系数k、振动周期T和振动频率γ都不会随谐振子振动振幅变化而变化，因此用ε=hγ就没有办法区分不同振幅下谐振系统所具有的振动能量大小；为此，普朗克的办法是将不同振幅下电子谐振子所具有的能量定义成ε=nhγ形式来描述，也就是说，对于一个给定的谐振系统，由于其振动振幅A与矢量圆角动量h=2πmvA或h=2πmvr存在正比关系。
图-25.ε=nh×γ
如图-25所示，假设谐振子振幅A1下对应的谐振能量为E1=h1γ，那么振幅A2下对应的谐振能量就为E2=h2×γ=2E1=2h1×γ，振幅A3下的振动能量为E3=h3×γ=3E1=3h1×γ……以此类推，振幅为An下的振动能量就是En=hn×γ=nE1=nh1×γ.
可见，nh1表示振幅An为A1的n数倍时，就有hn=n×h1，h1是给定频率的谐振子在不同振幅下所具有的最小矢量圆角动量，将它假设为比例常数项，电子谐振子其他振幅下所辐射的普朗克能量子能量就是ε=nh1×γ，这就是为什么对给定频率的电子谐振子辐射的能量普朗克可以用ε=nhγ形式来描述的根源。
同时，我们也可以看出，对于给定频率为γ的电子谐振子，其辐射一个能量子的能量大小不能仅用振动频率γ来衡量，还要看它们被发射时谐振子振幅A的大小才能确定其所具有的能量大小来。
（4）、对于谐振系数不同的电子谐振系统，其振动辐射的能量子大小该如何定量？
当然，黑体中应由很多不同频率的电子谐振系统构成，即谐振子谐振系数k值不同，它们的振动频率γ也就不同，它们在受热振动时就会辐射不同频率的能量子个体，但它们辐射能量子的能量描述也是以ε=nhγ形式进行的，但公式中n、h、γ三个量的组合有变化，即在这种情况下就可以理解为ε=h×nγ，这里h、γ是常数，nγ是指不同电子谐振子频率γ之间相比较的n倍关系。
图-26.ε=h×nγ
如图-26所示，假设电子谐振子谐振系数分别为k1(γ1)、k2（γ2），并设在振动振幅均为A1时有γ2=2γ1，它们在振幅A1状态下振动辐射能量子的能量就是ε1=hγ1，ε2=hγ2=h×2γ1；如果二个谐振子谐振频率为γn=nγ1，在同振幅下振动辐射的能量子能量就有εn=hγn=h×nγ1定量形式存在。
通过（3）、（4）分析可以看出，爱因斯坦在解释光电效应时所认为的“截止频率γ0”问题是有待榷商的，因为现代物理学实验已证明，用低频激光光束照射具有高频截止频率的晶体时也可以产生光电效应，例如用红光激光照射砷化镉晶体薄片时可以产生光电效应，而用普通红光去照射就无法产生光电效应。
其实，爱因斯坦在解释光电效应时给出的“截止频率γ0”，只考虑了相同振幅A下，二个不同振动频率的电子谐振子，其γ大的辐射光子能量就大的情况，但他没有考虑在相同频率γ下，二个不同振振幅的电子谐振子振动辐射光子的能量也会不同，其中振幅大的辐射光子能量就大的情况，也就是说，电子谐振子振动辐射光子的能量不仅与它们的振动频率大小有关，还与它们的振动振幅大小有关，即有ε=h×nγ=nh×γ=nhγ.
上述实验表明：
在给定频率γ下，不同振幅的电子谐振子辐射光子时，其能量可以用εn=nh×γ来定量描述，这就是说，对振幅为A＞A＇的二个电子谐振子，如果振幅为A的电子谐振子辐射光子的能量是ε=nh×γ，振幅为A＇的电子谐振子辐射光子的能量是ε＇=mh×γ，这里n＞m，则有ε＞ε＇.
在给定振幅A下，不同频率的电子谐振子辐射光子时，其能量可以用εn=h×nγ来定量描述，这就是说，对振动频率为γ＞γ＇的二个电子谐振子，如果γ=nγ1、γ＇=mγ1，这里n＞m，有ε=hγ=h×nγ1＞ε＇=hγ＇=h×mγ1.
但对二个电子谐振子频率为γ＞γ＇的系统而言，当γ＇谐振系统振幅A＇大于或等于γ谐振系统振幅A的n/m整数倍时，会有ε＇=hγ＇≥ε=hγ情况出现，这就是说，对不同振动频率的二个电子谐振子振动系统，当一个振动频率小但振幅足够大时，其辐射光子的能量也可以大于或等于另一个振动频率大但振幅足够小的电子谐振系统辐射光子的能量。
由此可见，红激光在被红宝石中的电子谐振子发射时，其频率虽然比用普通光照射砷化镉晶体薄片产生光电效应的截止频率γ0要低，但由于在红宝石中辐射红激光的电子谐振子振幅比辐射普通红光的电子谐振子振幅要大，故红激光所具有的能量可以大于或等于频率为γ0的普通光能量，因此用红激光照射砷化镉晶体薄片可以产生光电效应，而用普通红光照射则不可产生光电效应的根源所在。
同时，我们还可以看出，普朗克假设的电子谐振子辐射的能量子能量不仅在给定频率下是n倍量子化辐射的，对不同频率的电子谐振子辐射的能量子能量也是n倍量子化的。
（5）、为什么对于给定频率的电子谐振子辐射的能量也是不连续的？
我们知道，电子谐振子的形成是由于自由运动或热运动电子相遇而随机形成的，而电子热运动的运动速度不同，就会形成不同振幅的电子谐振子，它们振动时所辐射出的能量子能量就会不同，但对于给定频率的一维谐振子而言，其振幅可以任意取值，为什么普朗克引用的电子谐振子振幅就不可以连续取值呢？
对此，普朗克当时也是困惑的，直到后来玻尔轨道能级理论出现，这个谜底才被揭开。
首先可以肯定的是，普朗克的一维谐振子模型是有极大缺陷的，因为他描述的电子谐振子只是对一维振动的描述，而黑体上电子真实热运动并不是一维而是二或三维的，即是以原子形态来振动的，这就如玻尔原子轨道理论所描述的那样，电子轨道半径r可以看做是普朗克一维电子谐振子的振幅，不同r下电子辐射出光子的能量是不同的；又因电子轨道半径变化遵循rn=n²×r1规律，这就是普朗克所认为的对于不同频率的一维电子谐振子辐射能量子是不连续的，只能是以εn=h×nγ1形式辐射能量的物理内涵所在，这也与玻尔轨道能级跃理论中不同轨道电子跃迁释放能量（光子）不同的论断不谋而合。
（6）、普朗克将h假设为常数有什么物理意义？.
普朗克认为，在ε=nhγ公式中h只是一个比例系数，他假设h对所有的电子谐振子都相同，故称普朗克常数，当时他按照经典热力学统计计算得出h=6.63×10^-34J.s，后来通过爱因斯坦光电效应测定值为h=6.6252×10^-34J.s.
从物理量纲上看，h即可以认为是功率单位，又可以看作是角动量单位；从普朗克对能量子的定义上来看，作为功率单位比较合适，但从玻尔轨道角动量假设公式mvr=nh/2π来看，作为角动量单位比较合适，而且从爱因斯坦光量子及德布罗意粒子波角度来看，作为角动量单位可能更合适些；那么，h到底体现的是什么单位更准确呢？h在ε=hγ公式中为什么是常数？等问题，直到现在还是一些悬而未决的问题。
不过，我们通过分析谐振动可用旋转矢量圆来描述，将这种描述运用到普朗克一维电子谐振子及爱因斯坦光量子辐射上，就可以看出普朗克常数真正地物理意义了。
我们知道，爱因斯坦在其狭义相对论中认为，各种光子运动速度都相同，即为光速c，且规定光子都没有静质量m0，但都有一个有限值的动质量m，至于这个动质量对不同能量的光子是否相同，爱因斯坦并没有给出说明；如果按照爱因斯坦质能守恒理论推理，光子运动动能可写成E=mc²形式，也可写成ε=hγ，且二种定量形式等价，如此以来就有一个问题出现：对于不同频率γ的光子，其所具有的动质量m=hγ/c²会不同，即光子动质量是一个变量；例如，光子频率为γ1，其动质量就是m1=hγ1/c²，光子频率为γ2，其动质量就是m2=hγ2/c²，光子频率为γ3，其动质量就是m3=hγ3/c²……光子频率为γn，其动质量就是mn=hγn/c².
现在假设γ1为所以光子频率中最小，且γn=n×γ1，则有
mn=hγn/c²=nhγ1/c ²=n×m1.
这说明光子动质量描述的实质还是一种能量，即光子不同能量就体现在它们的动质量不同上，而且在频率γ1下所对应光子的动质量m1最小，它的能量ε=m1×c²也最小，我们以此为基本能量单元，可以用它衡量其他不同动质量光子的能量为εn=n×m1c².
而对于不同频率的谐振子，上述我们已给出可以用εn=h×nγ1来定量描述，也就是说，在所有不同频率的电子谐振子中总有一个最小振动频率γ1，其对应的最小能量是E1=hγ1，它振动辐射出的光子能量就为ε1=h×γ1=m1×c²，如此以来，其他频率下的电子谐振子振动辐射的光子能量就有εn=h×nγ1=mn×c²的等价描述形式，因此，一维电子谐振子振动辐射光子的能量就都可以表示成εn=h×nγ1的形式，而这种描述的本质是将h看做是同振幅下不同振动频率的电子谐振子振幅旋转矢量圆中的最小角动量，即h=2πr1×me×v1.
当然，对给定频率的电子一维谐振子振动由于振幅不同，也可以辐射出不同能量的光子，这些光子能量的差异性可以用εn=h×nγ1=mn×c²来定量描述，这里h还是表示最小振幅下的谐振系统能量用振幅旋转矢量圆来定量描述时的最小角动量.
由此可见，普朗克常数h的物理本质应是将电子谐振子振动辐射光子的能量用振幅旋转矢量圆来描述时的最小角动量h=2πr1×me×v1；同时也表明，一维电子谐振子振动辐射出光子的能量就是这个谐振系统的振动能量，这就是说，光子能量定量具有一维谐振子振动的频率性，是一种固有能量，但这并不是说它被电子谐振系统发射出来后的运动具有天然频率性，只是说光子运动动能ε=mc²可以用ε=nhγ来描述，也就是说光子运动所谓的“波粒二象性”是由其能量用ε=nhγ来描述后臆猜出来的，这不是一种真实存在，光子运动本质就是粒子性的，并没有所谓的“波粒二象性”。
请谨记：任何波能描述公式都离不开波源的振动频率，即波频就是波源固有的振动频率，如果将光子、电子、中子等粒子的运动都看做是有波频的话，那这个波频一定是辐射它们的波源振频。
