反函数是函数中最基本的概念,对于一些反函数问题,只要充分理解反函数的概念,弄清原函数和反函数的定义域、值域之间的关系,了解互为反函数的图象间的关系,则可不必求出反函数的解析式便能迅速获解。
例1
的反函数是。
A.
B.
C.
D.
解析:由
,得
,所以原函数的定义域为[1,2],值域为[0,1],则反函数的定义域为[0,1],值域为[1,2]。通过观察四个选项,知答案为B。
说明:利用互为反函数的两个函数的定义域、值域间的互换关系解题,可化繁为简,快速准确。
例2 函数
的反函数的图象大致是
A B C D
解析:由原函数不难得到反函数的定义域为
,根据定义域可排除选项A、C,又点(1,0)在原函数的图象上,所以点(0,1)在反函数的图象上,排除D,从而选B。
说明:若函数
的图象经过点(a,b),则它的反函数
的图象必过点(b,a),反之也成立。利用这一结论,可避繁就简,轻松解题。
例3 若函数
,则
_________。
解析:设
,则
,即
,解得
,故
。
说明:设函数的反函数为,则
。本题巧妙利用这一结论,回避了求,解法简捷明快。
例4 已知函数
的图象关于直线对称,求a的值。
解析:因函数的图象关于直线对称,所以函数的定义域和值域相同。又函数的定义域为
,值域为
,则
,即得
。
说明:若函数的图象关于直线对称,则
,即的定义域和值域相同。解题中若能适时运用这一结论,可达到事半功倍之效。
例5 已知函数
,若函数的图象与的图象关于直线对称,求
的值。
解析:由题设知函数是的反函数,设
,则
,即
,所以
,可得
。
说明:解决本题的常规思路是先由求,然后得,再求的反函数即,最后求的值。这里运用互为反函数的两函数间的关系,在的两边同取“f”,减少运算避免错误。但在解题时,我们常会有如下错解:先由得
,然后将的反函数误认为是来求解。应引起同学们的注意。
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